Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức


Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA ⊥ BC, từ A kẻ AA ⊥ AC, sau đó lại kẻ AA ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AAAA... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

Tam giác AA1B vuông tại A1 có AB = h và .

Do đó, AA1 = AB sinB = h sin α.

Ta có: B^+BAA1^=90°A1AA2^+BAA1^=90°, suy ra A1AA2^=B^=α.

Tam giác AA1A2 vuông tại A2 nên A1A2 = AA1 sinA1AA2^ = h sin α . sin α = h sin2 α.

Vì AB ⊥ AC và A1A2 ⊥ AC nên AB // A1A2, suy ra A2A1A3^=B^=α (2 góc đồng vị).

Tam giác A1A2A3 vuông tại A3 nên A2A3 = A­1A2 . sinA2A1A3^ = h sin2 α . sin α = h sin3 α.

Vì AA1 ⊥ BC và A2A3 ⊥ BC nên AA1 // A2A3, suy ra A3A2A4^=A1AA2^=α.

Tam giác A2A3A4 vuông tại A4 nên A3A4 = A2A3 . sinA3A2A4^ = h sin3 α . sin α = h sin4 α.

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được An – 1An = h sinn α.

Ta có: AA1A2A3... = AA1 + A1A2 + A2A3 + ... + An – 1An + ...

= h sin α + h sin2 α + h sin3 α + ... + h sinn α + ...

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = h sin α và công bội q = sin α.

Do đó, AA1A2A3... = u11q=hsinα1sinα.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: