Giải Toán 11 trang 124 Tập 1 Kết nối tri thức


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với Giải Toán 11 trang 124 Tập 1 trong Bài tập cuối Chương 5 Toán lớp 11 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 124.

Giải Toán 11 trang 124 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 5.25 trang 124 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) có tính chất Colorkey. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Lời giải:

Colorkey

Do đó, limn+un1=0. Từ đó suy ra limn+un=1.

Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) un=n23n2+7n2;

b) vn=k=0n3k+5k6k;

c) wn=sin n4n.

Lời giải:

a) un=n23n2+7n2

Ta có: limn+un=limn+n23n2+7n2=limn+n2n23+7n2n2=limn+13+7n2n2=13

b) vn=k=0n3k+5k6k=30+5060+31+5161+32+5262+...+3n+5n6n

=3060+5060+3161+5161+3262+5262+...+3n6n+5n6n

=120+560+121+561+122+562+...+12n+56n

Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

121+122+...+12n là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là 121=12 và công bội là 12 nên

120+121+122+...+12n=120+12112n112=1+112n=212n.

Tương tự, ta tính được:

560+561+562+...+56n=560+56156n156=1+5156n=6556n.

Do đó, Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vậy Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

c) wn=sin n4n

Ta có: Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó, limn+wn=limn+sin n4n=0.

Bài 5.27 trang 124 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.

a) 1,(01);

b) 5,(132).

Lời giải:

a) Ta có: 1,(01) = 1,010101... = 1 + 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + ...

= 100 + 10-2 + 10-4 + 10-6 + ...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 100 = 1 và q = 10-2 nên

1,(01) = u11q=11102=10099.

b) Ta có: 5,(132) = 5,132132132... = 5 + 0,132 + 0,000132 + 0,000000132 + ...

= 5 + 0,132 + 0,132 . 10-3 + 0,132 . 10-6 + ...

Vì 0,132 + 0,132 . 10-3 + 0,132 . 10-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 0,132 và q = 10-3 nên

0,132 + 0,132 . 10-3 + 0,132 . 10-6 + ... = u11q=0,1321103=44333.

Do đó 5,(132) = 5 + 44333 = 1709333.

Bài 5.28 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) limx7x+23x7;

b) limx1x31x21;

c) limx12x1x2;

d) limxx+24x2+1.

Lời giải:

a) limx7x+23x7=limx7x+2232x7x+2+3

=limx7x7x7x+2+3=limx71x+2+3=17+2+3=16.

b) limx1x31x21=limx1x1x2+x+1x1x+1=limx1x2+x+1x+1=12+1+11+1=32.

c) limx12x1x2

Ta có: limx12x=21=1>0;

limx11x2=0 và (1 – x)2 > 0 với mọi x ≠ 1.

Do vậy, limx12x1x2=+.

d) limxx+24x2+1=limxx+2x24+1x2

=limxx1+2xx4+1x2=limx1+2x4+1x2=12.

Bài 5.29 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên:

a) Bài 5.29 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

b) limx1x1x.

Lời giải:

a) Bài 5.29 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Với mọi x > 3, ta có x – 3 > 0 nên |x – 3| = x – 3.

Do đó, Bài 5.29 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

b) limx1x1x

Ta có: limx1x=1>0; limx11x=0

Và với mọi x < 1, ta có 1 – x > 0, suy ra 1x>0.

Vậy limx1x1x=+.

Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giới hạn Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 không tồn tại.

Lời giải:

+) Với x > 0, ta có: |x| = x.

Khi đó, Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 (1)

+) Với x < 0, ta có: |x| = – x.

Khi đó, Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 nên không tồn tại giới hạn Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Bài 5.31 trang 124 Toán 11 Tập 1: Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.

Bài 5.31 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

a) Với x ≠ 0, thì fx=1x, ta có: limx01x=limx0+1x=+.

Suy ra limx01xlimx0+1x nên không tồn tại limx01x.

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x = 0.

b) Ta có: limx1+fx=limx1+2x=21=1;

limx1fx=limx11+x=1+1=2.

Suy ra nên không tồn tại limx1fx.

Vậy hàm số đã cho gian đoạn tại x = 1.

Bài 5.32 trang 124 Toán 11 Tập 1: Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

Bài 5.32 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

Lời giải:

Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.

Ta có: Bài 5.32 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 Tập xác định của hàm số F(r) là (0; +∞).

+) Với r < R thì F(r) = GMrR3 hay F(r) = GMR3.r là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0; R).

+) Với r > R thì F(r) = GMr2 là hàm phân thức nên nó liên tục trên (R; +∞).

+) Tại r = R, ta có F(R) = GMR2.

limrR+Fr=limrR+GMr2=GMR2; limrRfR=limrRGMrR3=GMRR3=GMR2.

Do đó, limrR+Fr=limrRFr=GMR2 nên limrRFr=GMR2=FR.

Suy ra hàm số F(r) liên tục tại r = R.

Vậy hàm số F(r) liên tục trên (0; +∞).

Bài 5.33 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

a) fx=cosxx2+5x+6;

b) gx=x2sin x.

Lời giải:

a) Biểu thức có nghĩa khi x2 + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 Bài 5.33 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số fx=cosxx2+5x+6 liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

b) Biểu thức x2sin x có nghĩa khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức x – 2 (hàm đa thức) và mẫu thức sin x (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.

Vậy hàm số gx=x2sin x liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Bài 5.34 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị của a để hàm sốBài 5.34 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Ta có: Bài 5.34 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 Tập xác định của hàm số f(x) là ℝ.

+) Với x < a thì f(x) = x + 1 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; a).

+) Với x > a thì f(x) = x2 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (a; +∞).

+) Tại x = a, ta có f(a) = a + 1.

limxafx=limxax+1=a+1; limxa+fx=limxa+x2=a2.

Để hàm số f(x) đã cho liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = a, điều này xảy ra khi và chỉ khi limxa+fx=limxafx=fa⇔ a + 1 = a2 ⇔ a2 – a – 1 = 0

Suy ra a=152 hoặc a=1+52.

Vậy Bài 5.34 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối Chương 5 Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: