Cho dãy số (un) với un = căn bậc hai của n^2 + 1 - căn bậc hai của n. Mệnh đề đúng là A. lim n đến + vô cùng un = - vô cùng. B. lim n đến + vô cùng un = 1. C. lim n đến + vô cùng un =
Câu hỏi:
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là
A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\).
C. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \].
D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\).
Trả lời:
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} - \sqrt n } \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt n } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)} \right]\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) = 1 > 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)} \right] = + \infty \). Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \].