Bài 11 trang 87 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; số đo góc nhị diện [S, BC, A] bằng 60°. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

Bài 11 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; số đo góc nhị diện [S, BC, A] bằng 60°. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Lời giải:

Kẻ IH ⊥ BC

Ta có:

$\left.\begin{array}{l}\left(\mathrm{SIB}\right)\perp \left(\mathrm{ABC}\text{D}\right)\\ \left(\mathrm{SIC}\right)\perp \left(\mathrm{ABC}\text{D}\right)\\ \left(\mathrm{SIB}\right)\cap \left(\mathrm{SIC}\right)=\mathrm{SI}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{SI}\perp (ABCD)$

Suy ra: SI ⊥ BC mà BC ⊥ IH ⇒ BC ⊥ (SHI) $\Rightarrow$ BC ⊥ SH.

Lại có: $[S,\mathrm{BC},A]=\widehat{\mathrm{SHI}}=60°$.

$S_{\mathrm{ABC}\text{D}}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}\right)\mathrm{AD}=3a^2$;

Ta có: I là trung điểm AD $\Rightarrow$ $\mathrm{AI}=\mathrm{ID}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}=a$.

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABI}}=\frac{1}{2}.\mathrm{AB}.\mathrm{AI}={\mathrm{a}}^2$

${\mathrm{S}}_{\mathrm{I}\text{D}\mathrm{C}}=\frac{1}{2}.\mathrm{CD}.\mathrm{ID}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}$

${\mathrm{S}}_{\mathrm{IBC}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{AIB}}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{CID}}=\frac{3{\text{a}}^2}{2}$

Gọi M là trung điểm của AB.

$\Rightarrow \mathrm{BM}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}=a$, CM = AD = 2a $\Rightarrow \mathrm{BC}=\sqrt{{\mathrm{BM}}^2+{\mathrm{CM}}^2}=a\sqrt{5}$ ;

$\Rightarrow \mathrm{IH}=\frac{2S_{\mathrm{IBC}}}{\mathrm{BC}}=\frac{3\text{a}\sqrt{5}}{5}$ $\Rightarrow \mathrm{SI}=\mathrm{IH}.\tan 60°=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$.

Vậy $V_{S.\mathrm{ABC}\text{D}}=\frac{1}{3}.\mathrm{SI}.S_{\mathrm{ABC}\text{D}}=\frac{3{\text{a}}^3\sqrt{15}}{5}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Đường thẳng CD ....

• Bài 2 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh b, SA vuông góc với mặt đáy ....

• Bài 3 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm của SA ....

• Bài 4 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng ....

• Bài 5 trang 86 Toán 11 Tập 2: Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a và chiều cao ....

• Bài 6 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a ....

• Bài 7 trang 86 Toán 11 Tập 2: Nếu hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là ....

• Bài 8 trang 86 Toán 11 Tập 2: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là ....

• Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau ....

• Bài 10 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi M, N, P ....

• Bài 12 trang 87 Toán 11 Tập 2: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a ....

• Bài 13 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = a, đáy ABCD là hình thoi có AB = BD = a ....