Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB)

Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:

Giải sách bài tập Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 48 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\frac{D I}{D A} = \frac{B C}{A B + B C + C A}$ ;

b) $\frac{D I}{D A} + \frac{E I}{E B} + \frac{F I}{F C}$ = 1.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB)

a) • Vì BI là phân giác của $\hat{A B C}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{I A}{I D} = \frac{A B}{B D}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{I A}{A B} = \frac{I D}{B D} = \frac{I A + I D}{A B + B D} = \frac{A D}{A B + B D}$ suy ra $\frac{I D}{A D} = \frac{B D}{A B + B D}$ (1)

• Vì CI là phân giác của $\hat{A C B}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{I A}{I D} = \frac{C A}{C D}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{I A}{C A} = \frac{D I}{C D} = \frac{I A + I D}{C A + C D} = \frac{D A}{C A + C D}$ suy ra $\frac{D I}{A D} = \frac{C D}{C A + C D}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{B D}{A B + B D} = \frac{C D}{C A + C D}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{B D}{A B + B D} = \frac{C D}{C A + C D}$ $= \frac{B D + C D}{A B + B D + C A + C D}$ $= \frac{B C}{A B + B C + C A}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\frac{D I}{D A} = \frac{B C}{A B + B C + C A}$ .

b) Tượng tự câu a) ta có: $\frac{E I}{E B} = \frac{C A}{A B + B C + C A}$ và $\frac{F I}{F C} = \frac{A B}{A B + B C + C A}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{D I}{D A} + \frac{E I}{E B} + \frac{F I}{F C}$ = $\frac{B C}{A B + B C + C A}$ + $\frac{C A}{A B + B C + C A}$ + $\frac{A B}{A B + B C + C A}$

= $\frac{A B + B C + C A}{A B + B C + C A}$ = 1.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác hay khác: